Готовьтесь к самостоятельной работе по теме: "Рациональные неравенства"
Справочный материал.
Пусть заданное неравенство имеет вид:
Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.
Во-первых, на числовую ось наносят точки
разбивающие ее на промежутки, в которых выражение
определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений
и
Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.
Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения
для значении
, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции
и
являются многочленами и не содержат множителей вида
где
то достаточно определить знак функции
в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
Если же в числителе или знаменателе дроби
имеется множитель вида
где
то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение
заданному неравенству.
Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби
в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие
Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.
Примеры решения неравенств методом интервалов
Пример 1. Решите неравенство:
Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:
При умножении или делении обеих частей неравенства наотрицательное число, меняется знак неравенства!
Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:
Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений
и
. Из первого получаем
Из второго получаем
Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки
и
обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки
и
— светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):
Определяем теперь знаки выражения
на полученных промежутках (подставляем любое значение
из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:
Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: ![Rendered by QuickLaTeX.com x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t_8rNRPi9sP9oWIipEqZQSsCaR4fDDYx9rC7gbSKTJHdINbXqxXbhKiUsBqBokOwg0z8YNg-2JAPaxVdU1RGZJIqLc-dUhwILoAqbs6TgwNzWVSMOihZjrPX2iLO8D4vTa4bDI2vFMtjZ6uVAjuNdOrM12Gtttv_x0tviq-h2oav46EA=s0-d)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t_8rNRPi9sP9oWIipEqZQSsCaR4fDDYx9rC7gbSKTJHdINbXqxXbhKiUsBqBokOwg0z8YNg-2JAPaxVdU1RGZJIqLc-dUhwILoAqbs6TgwNzWVSMOihZjrPX2iLO8D4vTa4bDI2vFMtjZ6uVAjuNdOrM12Gtttv_x0tviq-h2oav46EA=s0-d)
Комментариев нет:
Отправить комментарий