Готовьтесь к самостоятельной работе по теме: "Рациональные неравенства"
Справочный материал.
Пусть заданное неравенство имеет вид: 
Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.
Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.
Во-первых, на числовую ось наносят точки 
разбивающие ее на промежутки, в которых выражение 
определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений 
и 
Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.
разбивающие ее на промежутки, в которых выражение определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений и Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.
Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значении 
, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции 
и 
являются многочленами и не содержат множителей вида 
где 
то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
для значении , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции и являются многочленами и не содержат множителей вида где то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
Если же в числителе или знаменателе дроби имеется множитель вида где то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение 
заданному неравенству.
имеется множитель вида где то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение заданному неравенству.
Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие 
Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.
в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.
Общий вид прямой знаков в методе интервалов
Примеры решения неравенств методом интервалов
Пример 1. Решите неравенство:
![\[ \frac{1}{x^2-5x+6}\leqslant\frac{1}{2}. \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2X7BM1XO40WY1KyZUtYxcDOe1yAmyTwD1W0Hy2xbTz8qexb_LOU_OVHvZYWfkc3LHa4ofYenXvk8EDqvMbSY4q1YnaOCc7suDiDlwcWsCzbI45tX4ZOjs3Vk9eoZgGV5mBG0YMU3w9Bt0NR8iKcE_pTuh-DDp_JM_Lx6WljAJDlI7EA=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:
При умножении или делении обеих частей неравенства наотрицательное число, меняется знак неравенства!
![\[ \frac{1}{x^2-5x+6}-\frac{1}{2}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{2-(x^2-5x+6)}{2(x^2-5x+6)}\leqslant 0\Leftrightarrow \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vQZZ7O46__k8fLIfyVl6vssXg9DbhpLONP6KslbnFcpuSHxYNEkhljrCcthNLDolMfprshgR-imRZwG1RBsBrvOnFXZMlz85tVq0zHYp7y7I4CGAIbxuN6ZOAw6IRrDbWt1yIFU_MA1TpsQCucVsaYx4W1qUlwN9QHBpllBStHkR4L=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \frac{-x^2+5x-4}{x^2-5x+6}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{x^2-5x+4}{x^2-5x+6}\geqslant 0. \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sx6p1Wl2YHJxrjOsmr-gGWCZNk94rGaMpXqC-R1gw9R_Do1rILDoCZXTJP7Kh6uytyU0UK8Bxg0mdiZ0OPB61GPPs3BzuDZ2TqrMAWl6QBlNS1ZXFoyK8uTAIkXzJDecahUfP4q8l9zRBmkVPcl8MNlUlm1HXN6iqpunwk2ZTDR3M_7A=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:
![\[ \frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\geqslant 0. \]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0sumVun6_u6JEfCQbvckPjeb6UEqKG7nvXXGOAFlqC59VAlAscU9FieB8IyN8yQr8GlBMqPLbjSi3MXKzkQe-Lb5586bRD_9uFFgbu9X7V-OcEglW1qkGIJ05zG2mkxZRKoxPu-VmMxFd3xdWWEVxQszye1Rvl5KRUte9ZnZjK46U=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений 
и 
. Из первого получаем 
Из второго получаем 
Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки 
и 
обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки 
и 
— светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):
и . Из первого получаем Из второго получаем Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки и обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки и — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):
Числовая прямая с отмеченными точками
Определяем теперь знаки выражения 
на полученных промежутках (подставляем любое значение 
из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:
на полученных промежутках (подставляем любое значение из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:
Кривая знаков для исходного неравенства
Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: ![x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tqz_C5rZZDXEXFYkxlJJrTRkx7AlPsIFYuM33RlAnlDsHRYGXNAiasZ0-knudaSgWZqFmlwRML13NsEPM25sCNZyPikUztsxxswYae9AzV5W39sC01nWJNK_RUeQjOSM7bsNVpuANF6tGOE-BSsHeWRGlaMqJlMSQ_PmnJRx3PBitUgA=s0-d "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ:
Комментариев нет:
Отправить комментарий