пятница, 19 сентября 2014 г.

Задание для 9 класса

Готовьтесь к самостоятельной работе по теме: "Рациональные неравенства"



Справочный материал.
Пусть заданное неравенство имеет вид: \frac{f(x)}{g(x)}\bigvee 0. Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.
Во-первых, на числовую ось наносят точки x_1 ,\dots , x_n, разбивающие ее на промежутки, в которых выражение \frac{f(x)}{g(x)} определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений f(x)=0 и g(x)=0. Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.
Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения \frac{f(x)}{g(x)} для значении х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции f(x) и g(х) являются многочленами и не содержат множителей вида (x-a)^{2n}, где n\in N, то достаточно определить знак функции \frac{f(x)}{g(x)} в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
Если же в числителе или знаменателе дроби \frac{f(x)}{g(x)} имеется множитель вида (x-a)^{2n}, где n\in N, то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение х = a заданному неравенству.
Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби \frac{f(x)}{g(x)} в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие x=a. Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.
Прямая знаков метод интервалов
Общий вид прямой знаков в методе интервалов

Примеры решения неравенств методом интервалов

Пример 1. Решите неравенство:
  \[ \frac{1}{x^2-5x+6}\leqslant\frac{1}{2}. \]
Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:
При умножении или делении обеих частей неравенства наотрицательное число, меняется знак неравенства!
  \[ \frac{1}{x^2-5x+6}-\frac{1}{2}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{2-(x^2-5x+6)}{2(x^2-5x+6)}\leqslant 0\Leftrightarrow \]
  \[ \frac{-x^2+5x-4}{x^2-5x+6}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{x^2-5x+4}{x^2-5x+6}\geqslant 0. \]
Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:
  \[ \frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\geqslant 0. \]
Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений (x-4)(x-1)=0 и (x-2)(x-3)=0. Из первого получаем x_1 = 4, x_2 = 1. Из второго получаем x_3=2, x_4=3. Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки x_1 и x_2 обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки x_3 и x_4 — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):
Числовая прямая с отмеченными светлыми и закрашенными точками
Числовая прямая с отмеченными точками
Определяем теперь знаки выражения \frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)} на полученных промежутках (подставляем любое значение x из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:
Кривая знаков решение неравенства методом интервалов
Кривая знаков для исходного неравенства
Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).
Ответ: x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).



Автор: на
Ярлыки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)