Разложение многочленов на множители

На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов разложения многочлена на множители

Пример 1.   36a²-96a⁴-96a⁴b⁴+64a²b⁵.

     

Решение. 36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵=4a²b³(9a⁴-24a²b=16b²)=4a²b³(3a²-4b)².

Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 2.  a²+2ab+b²-c²  = (a²+2ab+b²-c²).

      Решение. a²+2ab+b²-c² = (a²+2ab+b²)-c² = (a+b)²-c² = (a+b-c)(a+b-c)

Комбинировали два приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 3.  y³-3y²+6y-8.

Решение.  y³-3y²+6y-8 = (y³-8)-(3y²-6y) = (y-2)(y²+2y+4)-3y(y-2) = (y-2)(y²-y+4).

Проверка: (y-2)(y²-y+4) = y³-y²+4y-2y²+2y-8 = y³-3y²+6y-8.

Комбинировали два приема:

- группировку;

- формулы сокращенного умножения;

- вынесение общего множителя за скобки.

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть)    2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.    3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущее способы не привели к цели).

 

Пример 4. n³+3n²+2n.

Решение.   

 n³+3n²+2n = n(n²+3n+2) = n(n²+2n+n+2) = n((n²+2n)+(n+2)) = n(n(n+2)+n+2) = n(n+1)(n+2)

Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- предварительное преобразование;

- группировку.

Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один прием разложения на множители – предварительное преобразование.

Даем ему характеристику.

	Предварительное преобразование       Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется     путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не          изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

 

1. Решить уравнения:

	a)  x2 - 15x + 56 = 0                         Решение:                        x2 – 7x – 8x + 56 = 0,                         (x2 - 7x) - (8x - 56)=0                         x(x - 7) - 8(x - 7)=0                        ( x - 7)(x - 8)=0                             x - 7=0 или x - 8=0                                  x - 7 или  x=8                                          Ответ:7; 8		б) x2 +10x+21=0 Решение: x2 +10x +25-4=0 (x+5)2 -4 =0 (x+5-2)(x+5+2) =0 (x+3)(x+7) =0 x+3 =0 или x+7=0 x=-3 или x=-7 Ответ: -3;-7

Отмечаем, что при разложении многочлена x² + 10x  + 21 на множители мы «увидели» полный квадрат (x² + 10x + 25 = (x + 5)²) и таким образом применили еще один прием разложения на множители: метод выделения полного квадрата.

2. Доказать, что:

 - Доказать, что для любого натурального числа n выражение n³+3n²+2n делится без остатка на 6.

Решение.

 Пусть p(n) = n³+3n²+2n.

Если n=1, то p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка.

Если n=2, то p(2)=2³+3·2²+2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка.

Если n=3, то p(3)=3³+3·3²+2·3=27+27+6=60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка.

Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.

Имеем:               n³+3n²+2n=n(n+1)(n+2).

В самом деле     n(n+1)= n²+ n, а (n²+n)(n+2)=n³+2n²+n²+2n=n³+3n²+2n.

Итак,        p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6.

Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n³+3n²+2n= n(n+1)(n+2)?

Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.

3. Вычислить 38.8² + 83*15.4 – 44.2².

Решение. 38.8² + 83*15.4 – 44.2² = 83*15.4 – (44.2² – 38.8²) = 83*15.4 – (44.2 – 38.8)

(44.2 + 38.8) = 83*15.4 – 5.4*83 = 83*(15.4 – 5.4) = 83*10 = 830.

4. Доказать тождество (a² + 3a)² + 2(a² + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Способ 1  Преобразуем правую часть равенства в левую.      a(a +1)(a +2)(a +3)       = (a(a +3))((a +1)(a +2)        = (a2 + 3a) (a2 + 3a +2)      = (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a)  ч.т.д

Способ 2 Преобразуем левую часть равенства в правую.    (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a)=(a2 + 3a)2(a2 + 3a +2)      = (a2 + 3a)2(a2 + 2a + a +2)      = a(a +3)(a(a +2) (a + 2))      = a(a + 3)(a + 2)(a + 1)     = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)  ч.т.д

Источник: конспект урока  учителя математики                                                                               Халимовой Гульгени Исламзяновны.